Matematiksel Kanıt

KANITI OLMAYAN GERÇEKLER

John Brockman

kitabından bir bölüm

(kitabın tanıtımı için tıklayın)

Yüce zihinler kimi zaman, ellerinde henüz bir kanıt ya da iddia olmadan gerçeği tahmin edebilirler. 

(Diderot buna “esprit de divination (ilahi mizaç)” sahibi olmak derdi.) 

Sizin, kanıtlayamasanız da doğru olduğuna inandığınız şey nedir?

cevaplayan

KEITH DEVLIN

Matematikçi Keith Devlin, Stanford Üniversitesi'ne bağlı Dil ve Bilişim Çalışmaları Merkezi'nde yönetici, Matematik Bölümü'nde ise danışman profesör. Mevcut araştırmaları zekâ analizi için bilişim/muhakeme sistemlerinin tasarımı üstüne odaklanıyor. Yazdığı çok sayıda kitap arasında The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (along with Lobsters, Cats and Dogs) [Matematiksel İçgüdü: Neden Matematik Dehasısınız (Istakozlar, Kediler ve Köpeklerin Yanısıra)] sayılabilir.

~

Edge Sorusu'nu yanıtlamadan önce kanıt derken neyi kastettiğimizi açıklığa kavuşturmalıyız. (Matematikçiler konuşulacak konuyu tam olarak tanımlamaktan hoşlanır. Fizikçi ve mühendis meslektaşlarımızı kimi zaman çileden çıkaran, burnu havada bir huyumuzdur bu.) Örneğin, Descartes'ın izinden giderek varolduğumu kendime kanıtlayabilirim, ama bunu başka hiç kimseye kanıtlayamam. Beni gayet iyi tanıyanların bile hayallerinin bir ürünü olmam ihtimali, uzak da olsa her zaman için mevcut. Kanıttan anladığınız kaya gibi sert bir kesinlik ise, o zaman kendi kendimize kanıtlayabileceğimiz tek şey, kendi varlığımızın ötesinde hemen hiçbir şey olmadığıdır; başkalarına ise kanıtlayabileceğimiz hiçbir şey yoktur. 

Matematiksel kanıt, genelde, varolan kanıtların içinde en kesin kanıt olarak kabul edilir. Öklid'in ünlü geometri metni Elementler'i yazdığı zamanlarda bu, ideal anlamda tamamen doğruydu. Ama Öklid'in geometrik teoremlerine ait kanıtların çoğunun doğru olmadığı sonradan ortaya çıktı. Matematikçiler bu teoremlere yüzyıllar boyunca inanıp, öğrencilerine aktardıktan sonra, 19. yüzyılın sonlarında, David Hilbert çoğunu düzeltti. Yani on satırlık bir geometrik kanıt söz konusu olduğunda dahi doğruyu yanlıştan ayırmak zor olabiliyor. 

Son 50 yıl içinde ortaya konan yüzlerce sayfalık, inanılmaz derecede karmaşık akıl yürütmeyle dolu kimi kanıtlarda kesinliği sağlamak ise çok daha zor. Ben dahil çoğu matematikçi, Fermat'ın son teoremini 1994'te Andrew Wiles'ın kanıtladığına inanıyoruz. Peki gerçekten kanıtladı mı? Ben kanıtladığına inanıyorum, çünkü matematiğin bu dalının uzmanları bana inandıklarını söylüyorlar. 

2002'nin sonlarında Rus Matematikçi Grigori Perelman internette, yüz yıllık ünlü bir topolojik problem olan Poincaré varsayımının kanıtına dair bir döküm olduğunu iddia ettiği bilgiyi yayınladı. Bu argümanı üç yıl inceleyen matematikçiler hâlâ doğru olup olmadığından emin değiller. ("Büyük olasılıkla" doğru olduğunu düşünüyorlar.)

Veya Thomas Hales'i ele alalım. Hales halen Johannes Kepler'in 360 yıllık varsayımının kanıtı olarak 1998'de öne sürdüğü fikrin, matematik camiasınca kabul edilip edilmediğine dair haber bekliyor. Kepler'in varsayımına göre, eşit ebattaki küreleri (örneğin sorunun ortaya çıkmasına neden olan bir gemide yığılı gülleleri) istiflemenin en verimli yolu, manavların portakalları tezgâha dizdikleri gibi piramit şeklinde sıralamaktır. Hales'in (bir kısmı bilgisayarla gerçekleştirilen) kanıtı beş yıl boyunca incelendikten sonra, 2003 baharında bir panelde, dünyanın dört bir yanından gelen uzmanlar, kanıtta giderilemez bir hata bulamadıkları halde, doğruluğundan hâlâ emin olamadıklarını ilan ettiler. 

Kanıt kavramı matematikte dahi böyle sallantıdayken, Edge Sorusu'nu yanıtlamak oldukça hassas bir işe dönüşüyor. Yapılacak en iyi şey, inandığımız ama kendimizi ikna edecek şekilde kanıtlayamadığımız bir şey düşünmek olabilir. Söylediğimiz şeyi başkaları, bir bilimci, düşünür (veya mesleğimiz her ne ise o) olarak bize duydukları güvene göre kabul veya reddedebilirler. Bu konudaki kararları ise genelde tanınırlığımıza ve daha önceki çalışmalarımıza dayalı olacaktır. Eski matematikçilerin, Goedel'in eksiklik teoremi dayanağı bile artık el altında değil (ki aslında bu teorem ilk bakışta Edge Sorusu'na karşılık, artimetiğin içsel çelişkilerden muaf olduğu şeklindeki inancımı beyan etmemi sağlayabilirdi). Goedel'in teoremi, aritmetik gibi aksiyomatik temelli bir teorinin çelişki barındırmadığının, teorinin kendisi içinde kanıtlanamayacağını gösteriyordu. Ama bu, o teoriyi daha geniş, daha zengin bir teorinin içinde kanıtlayamayacağınız anlamına gelmiyor. Aslında, standart aksiyomatik kümeler teorisiyle aritmetiğin çelişki içermediği kanıtlanabilir. Ve ben şahsen bu kanıtı kabul ediyorum. Yaşamakta olan matematikçi bir insan olarak, bana göre aritmetiğin tutarlılığı, beni tam anlamıyla ikna etmeye yetecek şekilde kanıtlandı. 

Edge Sorusu'nu yanıtlamak için kanıta sağduyuyla yaklaşmak gerekir; bu örnekteki kanıt zeki, mesleki anlamda şüpheci, eğitimli bir uzmanı kendi alanında ikna etmeye yetecek bir argüman anlamına geliyor. Bu gözle bakınca, başta ünlü Riemann hipotezi olmak üzere, doğruluğuna inandığım, ama kanıtlayamadığım birçok matematik probleminden söz edebilirim. Ama sanırım matematikçi perspektifimden yararlanarak, kanıt kavramının barındırdığı belirsizlikleri vurgularsam daha faydalı olabilirim ve (kanıtlayamasam da) inanıyorum ki oldum.